Nearly all Mersenne numbers and Fermat numbers are Primes

Wang Shiqiang¹, Bie Rongfang¹, Shi Jing², Du Wenjing³

( 1 School of Math.,Beijing Normal University, Beijing 100875; 2 School of Culture and Message Media,Central University of Finance and Economy， Beijing 100081; 3 Dept.of Philosophy,Nan Kai University，Tianjin  300071）

Abstract：In this paper we prove that Nearly all Mersenne numbers and Fermat numbers are Primes by Model-Theoretic method. 

Keywords：Mersenne number，Fermat number，Model Theory.

Mersenne numbers and Fermat numbers are frequently used in Number Theory. And also Mersenne Primes and Fermat Primes are of great Importance in the Theory and Practice of Secret Codes. In p.14 of R.K.Guy's <Unsolved Problems in Number Theory>(Springer-Verlag,Third Edition,2004),He said:"The number of Mersenne primes is undoubtedly infinite,but proof is again hopelessly beyond reach......". And now we will give a proof to the following fact that He regarded as hopeless. 

Theorem 1.Nearly all (i.e.with atmost finitely many exceptions) Mersenne numbers are Primes. [Mersenne numbers are numbers of the form 2^p-1（with p a positive prime)] 

 Proof. If not so,then we will have :(H)" There exist infinitely many composite numbers of the form 2^p-1（with p a prime)."   We arrange these composite numbers arbitrarily and denote them by: c1,c2,c3, ........ We will denote the Theory of Integers by Th(I) briefly,and rewrite one of It's axiom:"（for all natural number n)[n+1 ]¹ :otni" "{0+11+2  ,¹,¹ , . . . ,¹ 1+n¹ ")srebmun larutan lla revo snur n(}......,    [- integers. Because most Mathematicians do not consider non-standard integers.]

 Consider the following infinite set of sentences: U={Th(I); (exist x) [（x is a composite number of the form 2^p-1(with p a positive prime)in I）and（x=0)]---(P)}.  For every finite subset V of U，it is easily seen that there is some Residue Class Ring I/(ci) of I w.r.t. some ideal (ci) that satisfies V. Hence by the Compactness Theorem we know that U itself has a model M. Let us look into M: As M satifies Th(I) it cannot satisfy (P). But this contradicts the fact that M is a model of U. This Contradiction is due to (H). Hence (H) is false and Theorem 1 is true.  Anagolously as above,we can prove the following:

 Theorem 2.Nearly all Fermat numbers are primes.   

收稿日期：2009-7-20  修订日期：2009-9-17

作者简介:王世强（1927-）,男，北京师范大学数学学院退休教授,曾兼任<中国科学>,<科学通报>,<数学进展>,<北京师范大学学报>(自然科学版)及<现代数学丛书>编委.已发表论文80余篇, 出版<模型论基础>， <傅种孙与现代数学>等多部专著,E-mail：wangshiqiang6666@163.com；别荣芳（1960-），女，北京师范大学数学学院教授,发表论文20余篇,E-mail:bierf@bnu.edu.cn; 史璟（1980-），女，南开大学哲学系博士,中央财经大学人文与传媒学院讲师; 杜文静（1979-），女，南开大学哲学系博士生.

推荐语：

数论中经常讨论Mersenne素数与Fermat素数问题，特别是这样的素数是否有无穷个？在R.K.Guy所著的《Unsolved Problems in Number Theory》 (Springer-Verlag, 2004, Third Edition)一书把这两个问题列为数论中未解决的问题。

一般地，Mersenne数是指形如2^n ? 1的数，记为Mn; 如果一个Mersenne数是素数那么它称为Mersenne素数。Fermat数是指形如2^{2^n } + 1的数，记为Fn; 如果一个Fermat数是素数那么它称为Fermat素数。这两种素数在计算机编制密码方面有很重要的应用。许多科学工作者利用大型超级计算机寻找最大的素数，象GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) (http://www.mersenne.org) 组织的努力。到2009年4月12日，第47个Mersenne素数 (2^42,643,801 - 1)被找到；现在已知最大的Mersenne素数是2^43,112,609 - 1 在2008年8月23日发现的。

王世强教授等人在“几乎一切Mersenne数与Fermat数都是素数及其它”一文用数理逻辑中的模型论方法证明:几乎一切Mersenne数与Fermat数都是素数.并作了推广. 这在理论上证明了Mersenne素数与Fermat素数有无穷个。具我所知，未见别人发表有与此文类似结果。建议本文的作者在文章的开始增加一些有关Mersenne素数与Fermat素数问题的背景材料以增加文章的可读性。

推荐人：吴幸福，美国得克萨斯A&M计算机科学与工程系研究员，主要从事并行和网格计算，科学计算和可视化和算法逻辑等领域的研究。

推荐语：

由王世强等四人合写的论文"几乎一切Mersenne 数 Fermat 数都是素数以及其他" ,它的内容有创新,证明奇妙,是正确的推理与证明.向你们的杂志推荐，要恉出的是:这些结果也是在两个合理的假定下才能得到的。

推荐人：杨安州，数学教授。

几乎一切 Mersenne数与Fermat数都是素数

王世强¹，别荣芳¹，史璟²，杜文静³

(1 北京师范大学数学学院，北京 100875; 2 中央财经大学人文与传媒学院，北京 100081; 3 南开大学哲学系，天津 300071）

摘要：在本文中，我们用模型论方法证明：几乎一切 Mersenne数与Fermat数都是素数. 

关键词：Mersenne数; Fermat数; 模型论