科技日报记者 叶青 通讯员 华轩
1月13日，世界顶尖数学期刊《数学新进展》在线发表了华南理工大学数学学院副教授姚若飞与西安交通大学教授陈红斌、澳门大学教授桂长峰共同合作的一项成果。该成果破解了数学界的“热点猜想”关键难题。
这项研究源于一个已有50年历史、既经典又带着“生活温度”的数学猜想——“热点猜想”。
想象一个绝热的房间，墙壁既不吸热也不放热，若在某处短暂加热，热量便会从高温向低温扩散。随时间推移，温度逐渐趋于一致。但只要系统尚未完全均匀，房间内就仍会存在“最热点”与“最冷点”。
“直觉上，人们倾向于认为：在时间足够长但尚未达到平衡时，这些极热或极冷点更可能出现在墙面边缘，而非房间内部——这正是美国数学家Rauch于1974年提出的‘热点猜想’。”姚若飞介绍，“在数学家的眼里，‘热点猜想’可等价表述为：对于平面上的凸区域，拉普拉斯算子在绝热边界条件下的第二特征函数，其最大值和最小值只能在该区域的边界上取得。”
半个多世纪以来，“热点猜想”持续吸引着国际数学界的广泛关注。虽然国际上多位顶尖学者围绕不同几何区域和特殊情形取得了一系列重要进展，但作为最基本的凸多边形之一，平面三角形虽结构简明，其特征函数的精细行为分析却长期被认为极具挑战。因为它既是“热点猜想”研究中的关键难点，也是检验相关理论与方法的重要基础模型。
在这项研究中，科研团队聚焦三角形情形，开展了系统而深入的分析。历经13年，他们不仅解决了菲尔兹奖得主陶哲轩于2012年在Polymath Project 7中提出的“最大值的精确位置”公开问题，还推进并完善了《数学年刊》2020年相关文章关于临界点的公开问题及其主要结论，并对特征函数单调性问题给出了解答。
“研究中途，我们有过停滞与焦虑，但团队始终在一次次推演与修正中把问题向前推进。”姚若飞回忆道，在关键技术路线上，他们曾尝试以复分析思路切入，但进展受阻。随后，受到团队成员桂长峰教授的一项研究工作启发，他们采用“直接证明对称性”的思路推进，局面由此逐步打开。
此外，该研究还就特征函数节点线位置、混合边值问题的特征值不等式等若干公开问题给出了进一步解答。
在三角形这一基础几何模型中，科研团队围绕第二绝热特征函数的一系列关键结构问题给出了系统且严格的结论；相关方法与结果可为谱几何、偏微分方程及相关方向的后续研究提供参考。
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